南开19秋《概率论与数理统计》课程期末复习资料

复习大纲

一、考试说明

考试形式和试卷结构
考试形式：当堂开卷
试卷内容比例：概率论部分约占 72%         数理统计部分约占28％
题型比例：选择题约占24%，填空题约占24％，解答题约占52%

说明:在下列的复习题中，包括试题中题目分数约为70分，包括了所有试题题型，由于考试形式为开卷，所以请同学们认真做一下下面的复习题，这样至少保证通过考试，在确保通过考试的基础上，请同学们认真复习，取得满意的成绩。

二、复习题

(一)单项选择题
1、抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反面，并将事件A定义为：事件A=出现正面，这一事件的概率记为P(A)。则概率P(A)=1/2的含义是（ C  ）
A．抛掷多次硬币，恰好有一半结果正面朝上
B．抛掷两次硬币，恰好有一次结果正面朝上
C．抛掷多次硬币，出现正面朝上的次数接近一半
D．抛掷一次硬币，出现的恰好是正面

2、抛3枚硬币，用0表示反面，1表示正面，则其样本空间可以表示为（ A  ）．
A、{000,001,010,100,011,101,110,111}
B、{000,001,010,100,011,101,110,111,101}
C、{000,001,010,011,101,110,111}
D、{000,001,010,110,011,101,110,111}

3、掷1颗骰子，并考察其结果。其点数为1点的概率为（    ）
（A）1;          (B) 1/6;
(C) 1/4;        (D) 1/2

4、掷2颗骰子，设点数之和为10的事件的概率为p，则p=（    ）
（A）1/6;          (B) 1/12;
(C) 1/18;         (D) 1/36.

5、指出下面关于n重贝奴利试验的陈述中，哪一个是错误的（  ）
（A） 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”
（B） 每次试验成功的概率p都是相同的
（C） 试验是相互独立的
（D）在n次试验中，“成功”的次数对应一个连续型随机变量

6、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右卷号恰好为1；2；3；4顺序的概率等于（  ）
（A）1/8;          (B) 1/12;
(C) 1/16;        (D) 1/24.

7、下列分布中，不是离散型随机变量概率分布的是（ D  ）．
A、0-1分布             B、二项分布
C、泊松分布            D、正态分布

8、设X是参数为n=4和p=0.5的二项随机变量，则P(X<2)=（     ）。
（A）0.3125    （B）0.2125   （C）0.6875    （D）0.7875

9、若掷一枚骰子，考虑两个事件：A={骰子的点数为奇数}；B={骰子的点数大于等于4}。则条件概率P(A|B)=（     ）。
（A）1/3
（B）1/6
（C）1/2
（D）1/4

10、推销员向客户推销某种产品成功的概率为0.3。他在一天中共向5名客户进行了推销，则成功谈成客户数不超过2人的概率大约为 （    ）。
（A） 0.1681
（B） 0.3602
（C） 0.8369
（D ）0.3087

11、若某一事件发生的概率为1，则这一事件被称为（   B    ）．
A、完全事件        B、必然事件
C、不可能事件       D、基本事件

12、已知A、B两事件满足，若P(A)=p，则P(B)=（    ）
（A） 1-p          （B） p          （C） p(1-p)          （D） p²

13、一家计算机软件开发公司的人力资源管理部门做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工资都不满意。设A=员工离职是因为对工资不满意；B=员工离职是因为对工作不满意。则两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率为（    ）
（A） 0.40          （B） 0.30          （C） 0.15          （D） 0.55

14、袋中有十张彩票，其中有两张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人依次从袋中各取出一张彩票（不放回），则（     ）．
A、甲中奖的概率最大            B．乙中奖的概率最大
C、丙中奖的概率最大            D、三个人中奖的概率相同

15、一部电梯在一周内发生故障的次数及相应的概率如下表所示：

表中的α值为（    ）
（A） 0.35          （B） 0.10          （C） 0.25          （D） 0.30

16、设A、B是两随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，AB，则P(A|B)=
A、1/6；        B、1/7；      C、6/7；       D、7/6

17、已知甲乙两人射击的命中率分别为0.8和0.9，现让他们各自独立地对同一目标各射一次，求目标被命中的概率为（       ）。
A、0.72；        B、0.84；      C、0.93；       D、0.98

18、一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。设A=顾客购买食品；B=顾客购买其他商品。则在已知某顾客来超市购买食品的条件下、其也购买其他商品的概率为（    ）
（A） 0.80          （B） 0.60          （C） 0.4375          （D） 0.35

19、设事件A，B相互独立，且P(A)=0.1，P(B)=0.4，则P(ā|B) =（ D  ）
A．0.1  B．0.4
C．0.5                              D．0.9

20、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（    ）.
A．0.035                            B．0.038
C．0.076                            D．0.045

21、设一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示：

设A=取出的一个为正品；B=取出的一个为供应商甲供应的配件。现从这200个配件中任取一个经过检查发现是正品，则取出的这个正品为供应商甲供应的配件的概率为（   ）。
A．93                               B．0.45
C．0.42                             D．0.9333

22、一批产品中有9个正品和3个次品，现随机抽取检验。抽取2次，每次取1件，取后放回，则第一次取到正品，第二次取到次品的概率为（     ）。
（A）9/22
（B）3/4
（C）3/16
（D）13/22

23、设事件A，B相互独立，且P(A)=1/3，P(B)=1/5，则=（    ）
A．1/15                             B．1/5
C．4/15                             D．1/3

24、随机变量X~B(n,p),且已知E(X)=2.4, D(X)=1.44，则此二项分布中参数n和p=（     ）.
（A）n=6,p=0.4;          (B) n=4,p=0.6;
(C) n=6,p=0.6  ;        (D)  n=4,p=0.4.

25、设随机变量X~B(2,p), Y~B(3,p),若P{X≥1}=5/9,则P{Y≥1}= (     )．
（A） 31/41          （B） 19/27          （C） 2/15          （D） 2/13

26、设随机变量X~N(1,4)，已知Φ(-1.96)=0.025，则P(|(X-1)/2|<1.96)=（     ）.
A、0.025        B． 0.050        C、0.950    D、0.975

27、当X服从（   ）分布时，E(X)=D(X)。
（A）指数
（B）泊松
（C）正态
（D）均匀

28、设X~N(μ,σ²)，那么概率P(X<μ+2)（    ）。
（A） 随μ增加而变大
（B）随μ增加而减小
（C）随σ增加而不变
（D）随σ增加而减小

29、一种电梯的最大承载重量为1000公斤，假设该电梯一次进入16人，如果每个人的体重（公斤）服从N(60,225)，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则超重的概率大约为 （    ）。
（A）Φ(1/3)
（B）Φ(2/3)
（C） 1-Φ(1/3)
（D ）1-Φ(2/3)

30、设随机变量X~N(1,25)，Φ(x)为标准正态分布函数，则P(X>-3)=（ D  ）.
A、Φ(0.6)        B．1-Φ(0.6)        C、Φ(0.8)    D、1-Φ(0.8)

31、设X的概率密度为f_X(x)=1/[π(1+x²)]，则Y=2X的概率密度f_Y(y)=（      ）.
(A) 2/[π(4+y²)];            (B) 1/[π(1+4y²)];
(C) 1/[π(1+y²)];            (D)  arctany/π.

32、设随机变量X~ N(μ，σ²)，若μ不变，当σ增大时概率P{|X-μ|<1}（      ）．
A、增大        B． 减小        C、不变    D、增减不定

33、设随机变量X和Y的方差D(X)，D(Y)都不为零，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y（      ）．
A、不相关的充分必要条件;        B、独立的充分条件，但不是必要条件;
C、独立的充分必要条件;          D、不相关的充分条件，但不是必要条件．

34、对两个随机变量和，若E[X+Y]=E[X]+E[Y]，则（        ）．
A、D(X+Y)=D(X)+D(Y);       B、 E[XY]=E[X]E[Y];
C、D(XY)=D(X)D(Y);          D、上述结论都不一定成立．

35、对两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则（   ）成立。
（A）D(XY)=D(X)D(Y);          (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y);
(C) X和Y相互独立;        (D) X和Y不相互独立.

36、对两个随机变量X和Y，若E(X+Y)=E(X)+E(Y)，则（ D  ）成立。
（A）X和Y一定相互独立             （B）X和Y一定不相关
（C）X和Y一定不相互独立           （D） 以上答案都不对.

37、设随机变量X服从正态分布N(0,1)，Y=3X+4，则D(Y)=（      ）.
A、3        B、4         C、9        D、16

38、一家电脑配件供应商声称。他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表所示：

则该供应商次品数的期望值为（    ）
（A） 0.43          （B） 0.15          （C） 0.12          （D） 0.75

39、一家电脑配件供应商声称。他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表所示：

则该供应商次品数的标准差为（    ）
（A） 0.43          （B） 0.84          （C） 0.12          （D） 0.71

40、假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50，标准差为10元的正态分布。已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(1)=0.9986，那么全公司中每周的加班津贴会超过70元的职员比例为（    ）。
（A）0.9772
（B）0.0228
（C）0.6826
（D）0.3174

41、设随机变量X和Y都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E[X+Y]=（        ）．
A、1/6；        B、1/2；      C、1；       D、2

42、设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则D(X+Y)=（   B    ）．
A、1/12；        B、1/6；      C、1/4；       D、1/2

43、设X和Y是相互独立的两个随机变量，X服从[0,1]上的均匀分布，即X~U(0,1),服从参数为2的指数分布,即Y~e(2)，则E(XY)=（      ）。
（A）  1          （B）2        （C）3          （D）4

44、设总体X的均值和方差分别为μ和σ²，x₁,x₂,……,x_n为容量为n的样本，根据中心极限定理可知，当样本容量n充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D  ）.
A、μ       B．σ²/(n-1)        C、σ²    D、σ²/n

45、设D(X)=2,则根据切比雪夫不等式P{|X-E(X)|≥3}≤（    ）。
（A）2/9;          (B) 1/4;
(C) 3/4;          (D) 1/3.

46、设总体X~N(μ,σ²)，σ²已知而μ为未知参数，X₁,X₂,…,X_n是从总体X中抽取的样本，记，又Φ(x)为标准正态分布的分布函数，已知Ф(1.96)=0.975，Ф(1.28)=0.90，则μ的置信度为0.95的置信区间是（      ）。
A、
B、
C、
D、

47、为估计参加自学考试学生的平均年龄，随机抽出一个n=60的样本，算得这60个考生的平均年龄为25.3岁，假设总体方差σ²=16，则则总体均值μ的95%的置信区间为（   C    ）（已知Φ(1.96)=0.975）．
A、（22.29，24.31）；        B、（23.29，25.31）；
C、（24.29，26.31）；       D、（25.29，27.31）

48、在其他条件相同的情况下，95%的置信区间比90%的置信区间（  A   ）．
A、要宽        B、要窄         C、相同        D、可能宽也可能窄

49、在假设检验中，原假设H₀，备择假设H₁，则称（      ）为犯第二类错误。
A、H₀为真，接受H₁              B、H₀不真，接受H₀
C、H₀为真，拒绝H₁              D、H₀不真，拒绝H₀

50、在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（B     ）。
（A）无偏性          （B）有效性
（C）一致性           （D） 充分性

51、设总体ξ服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ,σ²均为未知参数，ξ₁, ξ₂,…, ξ_n是取自总体ξ的样本，记，，则μ的置信度为1-α的置信区间为（      ）。
A、
B、
C、
D、

52、在假设检验中，显著性水平α表示（      ）。
A、P{接受H₀|H₀为假}              B、置信度为α
C、P{拒绝H₀|H₀为真}              D、无具体意义

53、设总体ξ服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知而σ²已知，ξ₁, ξ₂,…, ξ_n为取自总体ξ的样本，记，则作为μ的置信区间，其置信度为（      ）。
A、0.95         B、 0.05           C、0.975         D、0.90

54、设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知X₁，X₂，X₃是取自总体X的一个样本，则以下不能作为统计量的是（      ）．
A、X₁+μ        B、X₁+X₂/4         C、2X₁+3X₂+4X₃        D、(X₁+X₂+X₃)/σ²

55、设X₁，X₂，X₃，X₄，X₅是取自某总体X的一个样本，E(X)=μ，D(X)=σ²，其中μ未知，σ²已知。则以下不能作为统计量的是（  C   ）．
A、(X₁+ X₂+X₃+X₄+X₅)/5          B、(X₁+ X₂+X₃+X₄+X₅)+σ²
C、(X₁+ X₂+X₃+X₄+X₅)-5μ         D、(X₁+X₂+X₃)/σ²

56、假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为300的样本，则样本均值的抽样分布近似（ D  ）
A．服从均匀分布                     B．服从指数分布
C．服从泊松分布                     D．服从正态分布

57、设总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的标准差为（ B  ）.
A、8        B． 1        C、4    D、64

58、一个估计量的有效性是指（ D  ）。
（A）该估计量的数学期望等于被估计的总体参数
（B）该估计量的一个具体数值等于被估计的总体参数
（C）该估计量的方差比其他估计量大
（D）该估计量的方差比其他估计量小

59、从均值为200、标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，样本均值的标准差是（  C   ）．
A、50        B、10         C、5        D、15

60、在假设检验中，下列结论正确的是（      ）。
A、只犯第一类错误                      B、只犯第二类错误
C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误    D、不犯第一类也不犯第二类错误

（二）填空题
1、掷2颗骰子，并考察其结果。其点数为5点的概率为             。
（答案：1/9）

2、若掷一粒骰子，考虑两个事件：A=骰子的点数为偶数；B=骰子的点数小于5。                       则条件概率P(B|A)=                  。
（答案：2/3）

3、设A、B是两随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，AB，则P(A|B)=          ．
（答案：6/7）

4、从一个装有10个黑球和4个白球的袋中，抽出5个球、其中2个是黑球、3个是白球的抽取方法共有       种．
（答案：180）

5、由50人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为          ．
（答案：0.97）

6、设A、B是两随机事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，A⊂B，则P(A|B)=          ．
（答案：3/5）

7、设A、B是两随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，AB，ā为A的对立事件，则P(ā|B)=          ．
（答案：1/7）

8、离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=k²/a，k=3，4，则常数为          ．
（答案：25）

9、离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=k/a，k=1，2，3，则常数为          ．
（答案：6）

10、一个篮球运动员投篮命中率为50%。X表示他连续投篮首次投中时所投篮的次数，则P(X=5)=       ．
（答案：1/32）

11、同时掷3枚均匀的硬币，则至多有一枚硬币字面朝上的概率为         ．
（答案：7/8）

12、有5只球，随机地放入5个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率为_____    _．

（答案：4!/5⁴=24/625）

13、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于2的概率是．
（答案：1-13/e⁴）

14、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为          .
（答案：1/3）

15、设X是参数为n=5和p=0.4的二项分布随机变量，则P(X=3)=         ．
（答案：0.2304）

16、设随机变量X的概率密度函数,则c=         ．
（答案：1/64）

17、设X在(0,a)上服从均匀分布，已知方程4x²+4Xx+X+2=0有实根的概率为0.8，则a =          ．
（答案：10）

18、已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，标准差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p≥      ．
（答案：89%或8/9）

19、设总体X~N(1,4)，从总体中抽取容量为1000的简单随机样本，则样本均值的期望值是        ．
（答案：1）

20、设随机变量X的概率密度函数如下，则常数a为                ．

（答案：1/2）

21、设随机变量X的概率密度函数,则常数m=         ．
（答案：1.5）

22、设X~P(λ)，若 E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=       .
（答案：1）

23、设E(X)=0，D(X)=1，则根据切比雪夫不等式P{-2<X<2}≥       ．
（答案：3/4）

24、设E(X)=1，D(X)=4，则根据切比雪夫不等式P{-4<X<6}≥       ．
（答案：84%）

25、设E(X)=3，D(X)=4，则根据切比雪夫不等式P{-2<X<8}≥       ．
（答案：21/25）

26、设P(A)=P(B)=1/2,P(AB)=1/3 ,则A与B都不发生的概率为
（答案：1/3）

27、设A、B、C是三个随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，P(C)=0.8。ABC，则A、B、C中恰有一个事件发生的概率为          ．
（答案：0.1）

28、已知一批产品中次品率为10%，从中有放回地依次抽取5个，则这5个产品中恰好有一个是次品的概率为          ．
（答案：0.32805）

29、在句子“the girl put on her little red hat”中随机的取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，则E(X)=           ．
（答案：27/8）

30、设E[X]=E[Y]=2,cov(X,Y)= -1/6,则E[XY]=                ．
（答案：23/6）

31、设D(X)=1，D(Y)=2，且X与Y相互独立，则D(X-2Y)=                ．
（答案：9）

32、设X与Y是两个随机变量，D(X)=1,D(Y)=2,COV(X,Y)=-1,则D(2X-5Y)=      ．
（答案：74）

33、设X~N(1,4), Y~N(-1,9)， 且X与Y相互独立,则D(-3X-4Y)=      ．
（答案：180）

34、已知X~t(n)，则X²~             ．
（答案：F(1,n)）

35、 设X~N(1,4)，Y ~N(-1,9)， 且X与Y相互独立,则D(-3X-4Y)=        ．
（答案：180）

36、设总体X~χ²(n)，X₁,X₂,…,X₁₀是来自X的样本，则
（其中）．
（答案：n/5）

37、数理统计中的一类基本问题是依据样本所提供的信息，对总体分布的未知参数作出估计，称之为              ，这是数理统计的基本问题之一。
（答案：参数估计）

38、采用的估计方法不同，同一未知参数有不同的估计量，这就要求建立衡量一个估计量优劣的标准，一般来说,其评价标准有三种：      ，      和相合性。
（答案：无偏性；有效性）

39、设总体X~N(μ,σ²),且σ²已知，X₁,X₂,…,X_n为来自总体X的容量为n的样本，，总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间是,则λ=       .
（答案：z_α/2）

40、设ξ₁, ξ₂,…, ξ_n是取自正态总体N(μ,σ²)的样本，若σ²已知，要检验H₀:μ=μ₀， (μ₀为已知常数），H₁:μ≠μ₀。应用      检验法；检验的统计量是      ；当H₀成立时，该统计量服从            分布。
（答案：U；；标准正态）

41、设总体ξ~N(μ,σ²)，如果使用χ²检验法，且在给定的显著性水平α，其拒绝域为，则相应的假设检验H₀：      ；若拒绝域为，则相应的假设检验H₀：      。
（答案：；）

42、设E总体X~N(μ，σ²)，X₁，X₂，…，X_n为其样本，其中σ²未知。则对假设检验问题H₀: μ=μ₀，H₁: μ≠μ₀，在显著水平α下，应取拒绝域       。
（答案：）

（三）计算和证明题

1、有两台钻机钻孔，第一台钻孔数量是第二台的两倍，第一台钻孔不合格率为0.05，第二台钻孔不合格率为0.08，现发现一钻孔不合格，求是第一台钻孔的概率.

（答案：5/9）

2、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7.在两批种子中各随机取一粒，试求：
（1）两粒都发芽的概率；
（2）至少有一粒发芽的概率；
（3）恰有一粒发芽的概率。
答案：（1） 0.56；（2）0.94；（3）0.38
解：设A={种子甲发芽}，B={种子乙发芽}
（1） P(AB)=P(A)P(B)=0.56
（2）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94
（3）P(A’B)+P(AB’)=0.2*0.7+0.8*0.3=0.38

3、某射击运动员每天的训练任务是：朝目标靶心射击，直到击中10次靶心为止。已知该运动员射击一次击中靶心的概率为0.4，求该运动员一天为了完成训练任务至少需要射击12次的概率。
解：用X记该运动员一天为了完成训练任务需要射击的次数，
则P(X=n)= p¹⁰(1-p)^n-10= p¹⁰(1-p)^n-10
其中p=0.4,n=10,11,12,……
于是，P(X>11)=1-P(X=10)-P(X=11)=1- p¹⁰-10p¹⁰(1-p)=1- p¹⁰(11-10p)=1-0.4¹⁰(11-4)=99.93%

（答案：99.93%）

4、设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分钟）服从指数分布，其概率密度为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开，此人一个月要到该银行12次，以Y表示一个月内他因为没有等到服务而离开窗口的次数。求P(Y=2)。
解：首先，易知Y服从参数n,p的二项分布，其中
n=12，p=P(X>10)= )=e^-2
于是，P(Y=2)= = =0.2824

5、某种型号的电器的寿命X（以小时记）具有以下的概率密度：

现有一大批此种器件，设各器件损坏与否相互独立，任取5只，问其中至少有2只寿命大于2000小时的概率是多少？

（答案：13/16）

6、某种型号灯泡的寿命X（以小时记）具有以下的概率密度：

现任取只这种灯泡，问其中至少有4只寿命大于2000小时的概率是多少？

（答案：e^-8(5-4e^-2)或0.00149571）
解：设5只灯泡中寿命大于2000小时灯泡的只数为N，则N服从参数为5和p的二项分布。其中
p=P(X>2000)= =e^-2
于是，P(N≥4)=P(N=4)+P(N=5)=5p⁴(1-p)+p⁵=e^-8(5-4e^-2)=0.00149571

7、设随机变量X服从参数为λ=10的泊松分布：
 ,   k=1,2,……
问：k取何值时，P(X=k)最大。
答案：k=9或k=10
解：因为P(X=k+1)/P(X=k)= λ/(k+1)
所以，当k>10时，P(X=k+1)/P(X=k)<1；k<9时，P(X=k+1)/P(X=k)>1，于是
k=9或k=10时，P(X=k)最大。

8、X的概率密度为
，求随机变量Y=2X+8的概率密度。

解： Y只在(8,16)内取值，对于8<y<16，


所以

9、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为120小时的指数分布，现随机地取100个，设他们的寿命是相互独立的，求这100个元件的寿命的总和大于12960个小时的概率.
标准正态分布数值表：

（答案：0.2119）

10、一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200,400)，试求：
（1）出现错误处数不超过230的概率；
（2）出现错误处数在190～210之间的概率。

（答案：（1）93.32%；（2）38.3%）
解：（1）P(X≤230)=P((X-200)/20≤30/20=1.5)=Φ(1.5)=93.32%;
（2）P(190<X<210)=P(|X-200|/20<10/20=0.5)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=2Φ(0.5)-1=2*69.15%-1=38.3%;

11、有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X_k (k=1,2)（小时）服从同一指数分布e(250)，其概率密度为，若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命Y的均值。
（答案：125）

12、设随机变量(X,Y)的概率密度为，其中c为常数．
（1）求常数c；
（2）求边缘概率密度f_X(x)和f_Y(y)，并说明X和Y是否相互独立．

（答案：（1）c=1；（2）；；X和Y不相互独立）

13、设随机变量X和Y具有联合概率密度
,求边缘概率密度f_X(x)和f_Y(y).

解：

14、设(X，Y)的联合分布律为

求：（1）E[X]；（2）E[Y]；（3）E[XY]

解：P{X=1}=0.4，P{X=0}=0.2，P{X=3}=0.4，EX=0.4+0.4*3=1.6
P{Y=1}=0.4，P{Y=-1}=0.3，P{Y=2}=0.3，EX=0.4-0.3+0.6=0.7
E[XY]==-0.2+0.1+0.9+0.2+0.6=1.6
15、设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值。求(X,Y)的分布律。

（答案：见下表）
解：P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)*(1/4)     i=1,2,3,4, 1≤j≤i
于是，(X,Y)的分布律为

16、设随机变量(X,Y)的分布律为

试判断（1）X与Y是否相关？（2）X与Y是否相互独立？
（答案：（1）不相关；（2）不独立）
解：由题设知X的边缘分布律为：

Y的边缘分布律为：

XY的分布律为

于是，E(X)=E(Y)=E(XY)=0，所以，X与Y不相关；
同时，注意到P(X=1,Y=1)=1/8,
而P(X=1)P(Y=1)=(3/8)(3/8)=9/64
所以，X与Y不独立。

17、设X,Y相互独立，它们分布律分别为

试求随机变量Z=X+Y的分布律。

答案：

18、设连续型随机变量 ，求Eξ。

解：由连续型随机变量数学期望的定义可知：

19、  随机变量X的分布律如下：

求E(X),E(1/[1+X]),E(X²)，D(X)．

解  


D(X)= E(X²)-[E(X)]²=15/8-49/64=71/64

20、设随机变量X的概率密度为：
     0<x<θ
（1）已知P(X>1)=7/8，求θ的值；
（2）求X的期望值与方差。

答案：（1）2（2）3/2;3/20，
解：有题设知：θ>1，于是
（1）P(X>1)= =7/8，得θ=2；
（2）E(X)= = =3/2
E(X²)= = =12/5
D(X)=12/5-(3/2)²=3/20

21、假定每个人生日在各个月份的概率相同，求三个人中生日在第一季度的人数的期望。

（答案：0.75）

22、设随机变量X服从几何分布，其分布律为
P(X=k)=p(1-p)^k-1            k=1,2,……。
已知p=0.4，求E(X)。
（答案：2.5）
解：
E(X)= P(X=1)+2P(X=2)+……=p+2p(1-p)+3p(1-p)²+……=p[1+2(1-p)+3(1-p)²+……]    （1）
(1-p)E(X)= p[     (1-p)+2(1-p)²+3(1-p)³+……]                                   （2）
（1）-（2）得，
pE(X)= p[1+(1-p)+(1-p)²+……]=p/[1-(1-p)]=1
所以，E(X)=1/p=2.5

23、 掷20个骰子，求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.
（答案：70）

解 设ξ_i为第i个骰子出现的点数，i=1,2,…,20，那么，20个骰子点数之和ξ就等于
ξ=ξ₁+ ξ₂+…+ ξ₂₀
易知，ξ_i有相同的分布列P(ξ_i=k)=1/6,k=1,2,…,6,所以
E(ξ_i)=(1+2+…+6)/6=21/6，i=1,2,…,20，  于是，
E(ξ)= E(ξ₁)+ E(ξ₂)+…+ E(ξ₂₀)=20×21/6=70

24、随机变量X的概率密度为，求D(X)。
（答案：2/3）

25、X为在区间（0,24）上均匀分布的随机变量，求X的方差？
答案：
因为X在区间（0,24）上均匀分布，所以X的密度f(x)在区间（0,24）上为常数1/24，在其他地方为0；
D(X)=E[X²]-(E[X])²
E[X²] ===24³/24/3=576/3=192
E[X] ===24²/48=12
所以D(X)=E[X²]-(E[X])²=192-12²=48

26、设发行体育彩票1000万张，其中一等奖1张，奖金500万元，二等奖9张，奖金1万元，三等奖90张，奖金100元，四等奖900张，奖金10元，问一张奖券获得奖金的期望值为多少？
（答案：0.5108）

27、 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为
，求ρ_XY。
（答案：ρ_XY=1.5^1/2/2）

解  





又  
所以  


ρ_XY=cov(X,Y)/(D(X)D(Y))^1/2=(1/50)/[2/(75×25)]^1/2=1.5^1/2/2
28、设随机变量X和Y相互独立且服从相同的分布，Z=2X+3Y，W=2X-3Y。求Z与W的相关系数。
答案：-5/13
解：
ρ_ZW=COV(Z,W)/(D(Z)D(W))^1/2
COV(Z,W)=E(ZW)-E(Z)E(W)=E(4X²-9Y²)-[4E(X)²-9E(Y)²]=4D(X)-9D(Y)=-5D(X)
D(Z)=D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=13D(X)
D(W)=D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=13D(X)
于是ρ_ZW=-5/13

29、设随机变量W=(X+3Y)²，E(X)=E(Y)=0，D(X)=4，D(Y)=16，随机变量X、Y的相关系数ρ_XY=-0.5。求E(W)。
答案：124
解：W=(X+3Y)²=X²+6XY+9Y²
E(W)= E(X²)+6E(XY)+9E(Y²)
E(X²)=D(X)+[E(X)]²=4
E(Y²)=D(Y)+[E(Y)]²=16
E(XY)=COV(X,Y)+E(X)E(Y)= ρ_XY(D(X)D(Y))^1/2=-0.5*2*4=-4。
于是
E(W)=4+9*16-4*6=124

30、设随机变量W=(X+Y)²，E(X)=E(Y)=0，D(X)=4，D(Y)=16，随机变量X、Y的相关系数ρ_XY=-0.5。求E(W)。
答案：12
解：W=(X+Y)²=X²+2XY+Y²
E(W)= E(X²)+2E(XY)+E(Y²)
E(X²)=D(X)+[E(X)]²=4
E(Y²)=D(Y)+[E(Y)]²=16
E(XY)=COV(X,Y)+E(X)E(Y)= ρ_XY(D(X)D(Y))^1/2=-0.5*2*4=-4。
于是
E(W)=4+16-4*2=12

31、设对目标独立发射400发炮弹，单发命中率等于0.1，试用中心极限定理近似计算命中数超过50发的概率。
标准正态分布数值表：

（答案：0.0475）

32、某地区女青年的血压（收缩压，以mmHg计）服从N(110,144)分布，在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X，求P(100<X<120)。

（答案：68.26%  ）
解：
P(98<X<122)=P(|X-110|/12<12/12)=2Φ(1)-1=68.26%

33、设总体X的概率密度为，其中未知参数θ>0.设x₁,x₂,…, x_n是来自总体X的样本.
（1） 求θ的最大似然估计量；
(2)　说明该估计量是否为无偏估计量.

（答案：（1）；(2)　是无偏估计量）

34、设总体X的均值和方差分别为E(X)=μ和D(X)=σ²，X₁,X₂,…, X_n是来自总体X的容量为n的样本，试证明和都是μ的无偏估计量，且较有效。

证明：  ，，所以和都是μ的无偏估计量；，，当时，，因此较有效。

35、设总体X的概率密度为，(θ>-1)，X₁,X₂,…, X_n是来自总体X的样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量.

（答案：矩估计量；最大似然估计量）

36、一公交车起点站候车人数服从泊松分布P(λ)，观察40趟车的候车人数如下：

求λ的矩估计值．

解：λ的矩估计值=(1*1+3*2+5*3+5*4+6*5+7*6+3*7+3*8+4*9+3*10)/40=5.625

37、销售公司要求销售人员与顾客经常保持联系。一个由64名销售人员组成的随机样本表明：销售人员每周与顾客联系的平均次数为22次，样本标准差为5次。已知Φ(-1.96)=0.025，求总体均值μ的95%的置信区间。
（答案：       （20.775，23.225））
解：则总体均值μ的95%的置信区间为（22-1.96*5/8，22+1.96*5/8）=（20.775，23.225）

38、设总体X的均值和标准差分别为μ（未知）和4，先从该总体中随机抽取一个容量为36的样本，测得样本均值为33。已知Φ(1.96)=0.975，试构造总体均值μ的95%的置信区间。
解：总体均值μ的95%的置信区间为(33-1.96*4/6，33+1.96*4/6)，即(31.69，34.31)
（答案：(31.69，34.31)）

39、设总体X的均值和标准差分别为μ（未知）和88，先从该总体中随机抽取一个容量为64的样本，测得样本均值为125。已知Φ(-1.96)=0.025，试构造总体均值μ的95%的置信区间。
解：总体均值μ的95%的置信区间为(125-1.96*88/8，125+1.96*88/8)，即(103.44.69，146.56)
（答案：(103.44.69，146.56)）