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高等数学（二）
第 7 章
向量代数与
空间剖析多少何
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7．3 平面及其方程
本节的知识点：
平面的点法度方程
平面的一般式方程
平面的截距式方程
两平面的地位关联（平行、垂直跟斜交）
点到平面的间隔
4.1节
《导学》
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第7.3节
1、平面的点法度方程及一般式方程
2、平面的三点式方程跟截距式方程
3、两平面的地位关联
4、两平面的夹角
平面及其方程
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①
1、平面的点法度方程及一般式方程
设一平面经由过程已知点
且垂直于非零向
称①式为平面?的点法度方程,
求该平面?的方程.
法向量.
量
则有
故
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设有三元一次方程
以上两式相减 , 得平面的点法度方程
此方程称为平面的一般
任取一组满意上述方程的数
则
显然方程②与此点法度方程等价,
②
的平面,
因此方程②的图形是
法向量为
式方程.
结论： 空间平面与三元一次方程绝对应。
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例1.设点A（1，2，-3），O（0，0，0）.向量
(1)求过点A且以
为法线的平面方程.
(2)过点O且以
为法线的平面方程.
解：（1）由平面的点法度方程可知，过点
A（1，2，-3），且以
为法线的
平面方程为：
或
(2)求过点O且以
为法线的平面方程为：
即
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称为平面的三点式方程。（三矢量共面，其混淆积为零。）
过三点
的平面方程为
2、平面的三点式方程跟截距式方程
三点式方程:奥鹏南开答案请进：opzy.net或请联系微信：1095258436
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特别,当平面与三坐标轴的交点分辨为
此式称为平面的截距式方程.
时,
平面方程为
分析:
利用三点式
按第一行开展得
即
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例2. 已知平面经由过程点( 1, 2, – 3) ，而在x 轴跟y 轴 上的截距顺次为 2 跟3，求截距式方程.
解:
设所求平面的截距方程为
代入已知点
，得
化简,得所求截距式方程
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3、两平面的地位关联 4、两平面的夹角
设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角? 的余弦为
即
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
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特别有下列结论：
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于是有
例3. 求经由过程两点
垂直于平面∏: x + 2y – z+3 = 0的平面方程 .
解: 设过点M1的平面方程为
将点M2代入方程有
将A，B，C 的值代入, 得：
因此
跟
令
且
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例4
求
两平面
跟
的夹角.
解: 已知二平面的法向量为
因此
于是
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外一点,求
例5. 设
解:设平面法向量为
在平面上取一点
是平面
到平面的间隔d .
,则P0 到平面的间隔为
(点到平面的间隔公式)
点到平面的间隔
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练习与功课题 3
习题 7-3
1 . 2, 3, 4.
5.
8.
10.
高等数学（下册）李君湘 邱忠文 天津大学出版社（第1版）
7.3节 结束
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