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福师23春《实变函数》在线作业二【标准答案】

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福师《实变函数》在线作业二

共50道题 总分:100分

一、判断题(共37题,74分)

1.f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

A、错误

B、正确

2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A、错误

B、正确

3.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

4.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

5.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.

A、错误

B、正确

7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

A、错误

B、正确

8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

A、错误

B、正确

9.可数集的测度必为零,反之也成立.

A、错误

B、正确

10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A、错误

B、正确

11.三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。

A、错误

B、正确

12.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

A、错误

B、正确

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

A、错误

B、正确

14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

15.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

A、错误

B、正确

16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A、错误

B、正确

17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

A、错误

B、正确

18.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A、错误福师答案请进:opzy.net或请联系微信:1095258436

B、正确

19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

A、错误

B、正确

20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A、错误

B、正确

21.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A、错误

B、正确

22.对R^n中任意点集E,E\E’必为可测集.

A、错误

B、正确

23.若f∈C1[a,b](连续可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].

A、错误

B、正确

24.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.

A、错误

B、正确

25.f可积的充要条件:|f|可积。

A、错误

B、正确

26.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

27.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

28.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

A、错误

B、正确

29.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

30.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.

A、错误

B、正确

31.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

A、错误

B、正确

32.f∈BV,则f几乎处处可微,且f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

33.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

A、错误

B、正确

35.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

A、错误

B、正确

36.若f∈BV,则f有界。

A、错误

B、正确

37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题,10分)

1.若f∈L(X),则

A、f在X上几乎处处连续

B、存在g∈L(X)使得|f|<=g

C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

2.开集减去闭集其差集是( )

A、闭集

B、开集

C、非开非闭集

D、既开既闭集

3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|

4.fn->f,a.e.,则

A、fn依测度收敛于f

B、fn几乎一致收敛于f

C、fn一致收敛于f

D、|fn|->|f|,a.e.

5.下列关系式中不成立的是( )

A、f(∪Ai)=∪f(Ai)

B、f∩(Ai)=f(∩Ai)

C、(A∩B)0=A0∩B0

D、(∪Ai)c=∩(Aic)

三、多选题(共8题,16分)

1.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

2.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A、f可测

B、|f|可积

C、f^2可积

D、|f|<∞.a.e.

3.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A、f在R上处处不连续

B、f在R上为可测函数

C、f几乎处处连续

D、f不是可测函数

4.若0<=g<=f且f可积,则( )

A、g可积

B、g可测

C、g<∞,a.e.

D、当g可测时g必可积

5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )

A、fn测度收敛于|f|

B、afn+bgn测度收敛于af+bg

C、(fn)^2测度收敛于f^2

D、fngn测度收敛于fg

6.A,B是两个集合,则下列正确的是( )

A、f^-1(f(A))=A

B、f^-1(f(A))包含A

C、f(f^-1(A))=A

D、f(A\B)包含f(A)\f(B)

7.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )

A、f+g不可测

B、fg不可测

C、g^2可测

D、|g|可测

8.若f,g是有界变差函数,则( )

A、f+g有界变差函数

B、fg有界变差函数

C、f/g有界变差函数

D、max(f,g)有界变差函数

福师《实变函数》在线作业二

共50道题 总分:100分

一、判断题(共37题,74分)

1.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

2.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、错误

B、正确

3.对R^n中任意点集E,E\E’必为可测集.

A、错误

B、正确

4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.

A、错误

B、正确

5.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

A、错误

B、正确

6.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

7.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A、错误

B、正确

8.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

A、错误

B、正确

9.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A、错误

B、正确

10.设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

A、错误

B、正确

11.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

12.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

A、错误

B、正确

13.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A、错误

B、正确

14.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.

A、错误

B、正确

15.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A、错误

B、正确

16.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A、错误

B、正确

17.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

18.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

A、错误

B、正确

19.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

20.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。

A、错误

B、正确

21.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。

A、错误

B、正确

22.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。

A、错误

B、正确

23.f可积的充要条件是f+和f-都可积.

A、错误

B、正确

24.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

A、错误

B、正确

25.f∈BV,则f几乎处处可微,且f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

26.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.

A、错误

B、正确

27.若f∈BV,则f有界。

A、错误

B、正确

28.若A交B等于空集,则A可测时必B可测.

A、错误

B、正确

29.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A、错误

B、正确

30.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。

A、错误

B、正确

31.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

A、错误

B、正确

32.f可积的充要条件:|f|可积。

A、错误

B、正确

33.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.

A、错误

B、正确

34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

35.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

A、错误

B、正确

36.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

37.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题,10分)

1.有限个可数集的乘积集是( )

A、有限集

B、可数集

C、有连续统势的集

D、基数为2^c的集

2.下列关系式中不成立的是( )

A、f(∪Ai)=∪f(Ai)

B、f∩(Ai)=f(∩Ai)

C、(A∩B)0=A0∩B0

D、(∪Ai)c=∩(Aic)

3.开集减去闭集其差集是( )

A、闭集

B、开集

C、非开非闭集

D、既开既闭集

4.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A、mE=0

B、0<mE<+∞

C、mE=+∞

D、0<=mE<=+∞

5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、连续函数

B、单调函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

三、多选题(共8题,16分)

1.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

2.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A、f可测

B、|f|可积

C、f^2可积

D、|f|<∞.a.e.

3.A,B是两个集合,则下列正确的是( )

A、f^-1(f(A))=A

B、f^-1(f(A))包含A

C、f(f^-1(A))=A

D、f(A\B)包含f(A)\f(B)

4.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )

A、fn测度收敛于|f|

B、afn+bgn测度收敛于af+bg

C、(fn)^2测度收敛于f^2

D、fngn测度收敛于fg

6.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则

A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B、若E1包含于E2,mE1<=mE2

C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1

7.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A、f在R上处处不连续

B、f在R上为可测函数

C、f几乎处处连续

D、f不是可测函数

8.若f∈BV[a,b],则( )

A、f为有界函数

B、Vax(f)为增函数

C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D、f至多有可数个第一类间断点

福师《实变函数》在线作业二

共50道题 总分:100分

一、判断题(共37题,74分)

1.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

2.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

A、错误

B、正确

3.零测度集的任何子集都是可测集.

A、错误

B、正确

4.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。

A、错误

B、正确

5.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A、错误

B、正确

6.f∈BV,则f几乎处处可微,且f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

7.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

A、错误

B、正确

8.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.

A、错误

B、正确

9.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。

A、错误

B、正确

10.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。

A、错误

B、正确

11.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

A、错误

B、正确

12.设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

A、错误

B、正确

13.若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。

A、错误

B、正确

14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A、错误

B、正确

15.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

A、错误

B、正确

16.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

17.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

A、错误

B、正确

18.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

A、错误

B、正确

19.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.

A、错误

B、正确

20.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].

A、错误

B、正确

21.若f∈BV,则f有界。

A、错误

B、正确

22.积分的引进分为三个递进的步骤:非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.

A、错误

B、正确

23.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

24.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

A、错误

B、正确

25.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

26.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.

A、错误

B、正确

27.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、错误

B、正确

28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

A、错误

B、正确

29.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

A、错误

B、正确

30.三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。

A、错误

B、正确

31.测度为零的集称为零测集.

A、错误

B、正确

32.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

33.闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.

A、错误

B、正确

34.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

35.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

36.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A、错误

B、正确

37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题,10分)

1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|

2.若A为R^n中一疏集,则( )

A、Ac为稠集

B、A为开集

C、A为孤立点集

D、A不完备

3.若f∈L(X),则

A、f在X上几乎处处连续

B、存在g∈L(X)使得|f|<=g

C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

4.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A、mE=0

B、0<mE<+∞

C、mE=+∞

D、0<=mE<=+∞

5.开集减去闭集其差集是( )

A、闭集

B、开集

C、非开非闭集

D、既开既闭集

三、多选题(共8题,16分)

1.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A、f可测

B、|f|可积

C、f^2可积

D、|f|<∞.a.e.

2.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A、广义R可积

B、不是广义R可积

C、L可积

D、不是L可积

4.设f为[a,b]上增函数,则f为( )

A、几乎处处可微

B、L可积

C、f’可积

D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

5.若0<=g<=f且f可积,则( )

A、g可积

B、g可测

C、g<∞,a.e.

D、当g可测时g必可积

6.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上

A、有L积分值

B、广义R可积

C、L可积

D、积分具有绝对连续性

7.设f为[a,b]上减函数,则f为( )

A、有界函数

B、可测函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

8.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则

A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B、若E1包含于E2,mE1<=mE2

C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1

福师《实变函数》在线作业二

共50道题 总分:100分

一、判断题(共37题,74分)

1.f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

A、错误

B、正确

2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A、错误

B、正确

3.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

4.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

5.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.

A、错误

B、正确

7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

A、错误

B、正确

8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

A、错误

B、正确

9.可数集的测度必为零,反之也成立.

A、错误

B、正确

10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A、错误

B、正确

11.三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。

A、错误

B、正确

12.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

A、错误

B、正确

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

A、错误

B、正确

14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

15.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

A、错误

B、正确

16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A、错误

B、正确

17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

A、错误

B、正确

18.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A、错误

B、正确

19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

A、错误

B、正确

20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A、错误

B、正确

21.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A、错误

B、正确

22.对R^n中任意点集E,E\E’必为可测集.

A、错误

B、正确

23.若f∈C1[a,b](连续可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].

A、错误

B、正确

24.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.

A、错误

B、正确

25.f可积的充要条件:|f|可积。

A、错误

B、正确

26.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

27.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

28.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

A、错误

B、正确

29.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

30.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.

A、错误

B、正确

31.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

A、错误

B、正确

32.f∈BV,则f几乎处处可微,且f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

33.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

A、错误

B、正确

35.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

A、错误

B、正确

36.若f∈BV,则f有界。

A、错误

B、正确

37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题,10分)

1.若f∈L(X),则

A、f在X上几乎处处连续

B、存在g∈L(X)使得|f|<=g

C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

2.开集减去闭集其差集是( )

A、闭集

B、开集

C、非开非闭集

D、既开既闭集

3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|

4.fn->f,a.e.,则

A、fn依测度收敛于f

B、fn几乎一致收敛于f

C、fn一致收敛于f

D、|fn|->|f|,a.e.

5.下列关系式中不成立的是( )

A、f(∪Ai)=∪f(Ai)

B、f∩(Ai)=f(∩Ai)

C、(A∩B)0=A0∩B0

D、(∪Ai)c=∩(Aic)

三、多选题(共8题,16分)

1.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

2.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A、f可测

B、|f|可积

C、f^2可积

D、|f|<∞.a.e.

3.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A、f在R上处处不连续

B、f在R上为可测函数

C、f几乎处处连续

D、f不是可测函数

4.若0<=g<=f且f可积,则( )

A、g可积

B、g可测

C、g<∞,a.e.

D、当g可测时g必可积

5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )

A、fn测度收敛于|f|

B、afn+bgn测度收敛于af+bg

C、(fn)^2测度收敛于f^2

D、fngn测度收敛于fg

6.A,B是两个集合,则下列正确的是( )

A、f^-1(f(A))=A

B、f^-1(f(A))包含A

C、f(f^-1(A))=A

D、f(A\B)包含f(A)\f(B)

7.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )

A、f+g不可测

B、fg不可测

C、g^2可测

D、|g|可测

8.若f,g是有界变差函数,则( )

A、f+g有界变差函数

B、fg有界变差函数

C、f/g有界变差函数

D、max(f,g)有界变差函数

福师《实变函数》在线作业二

共50道题 总分:100分

一、判断题(共37题,74分)

1.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

A、错误

B、正确

2.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

A、错误

B、正确

3.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

A、错误

B、正确

4.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

A、错误

B、正确

5.闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.

A、错误

B、正确

6.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A、错误

B、正确

7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

A、错误

B、正确

8.若|f|和f^2都是有界变差,则f为有界变差.

A、错误

B、正确

9.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

A、错误

B、正确

11.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

A、错误

B、正确

12.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

A、错误

B、正确

13.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

14.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A、错误

B、正确

15.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

A、错误

B、正确

17.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。

A、错误

B、正确

18.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。

A、错误

B、正确

19.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、错误

B、正确

20.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.

A、错误

B、正确

21.设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

A、错误

B、正确

22.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

23.g的连续点是L点,但L点未必是连续点.

A、错误

B、正确

24.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

A、错误

B、正确

25.可数集的测度必为零,反之也成立.

A、错误

B、正确

26.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.

A、错误

B、正确

27.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.

A、错误

B、正确

28.f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

A、错误

B、正确

29.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞

A、错误

B、正确

30.f可积的充要条件是f+和f-都可积.

A、错误

B、正确

31.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A、错误

B、正确

32.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

A、错误

B、正确

33.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

A、错误

B、正确

34.零测度集的任何子集都是可测集.

A、错误

B、正确

35.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.

A、错误

B、正确

36.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

A、错误

B、正确

37.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题,10分)

1.fn->f,a.e.,则

A、fn依测度收敛于f

B、fn几乎一致收敛于f

C、fn一致收敛于f

D、|fn|->|f|,a.e.

2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( )

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、非充分非必要条件

3.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、连续函数

B、单调函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

4.若A为R^n中一疏集,则( )

A、Ac为稠集

B、A为开集

C、A为孤立点集

D、A不完备

5.有限个可数集的乘积集是( )

A、有限集

B、可数集

C、有连续统势的集

D、基数为2^c的集

三、多选题(共8题,16分)

1.若f∈BV[a,b],则( )

A、f为有界函数

B、Vax(f)为增函数

C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D、f至多有可数个第一类间断点

2.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

3.若f∈AC[a,b],则( )

A、f∈C[a,b]

B、f∈BV[a,b]

C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt

D、f∈Lip[a,b]

4.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A、f在R上处处不连续

B、f在R上为可测函数

C、f几乎处处连续

D、f不是可测函数

5.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )

A、f+g不可测

B、fg不可测

C、g^2可测

D、|g|可测

6.设f为[a,b]上增函数,则f为( )

A、几乎处处可微

B、L可积

C、f’可积

D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

7.若f,g是有界变差函数,则( )

A、f+g有界变差函数

B、fg有界变差函数

C、f/g有界变差函数

D、max(f,g)有界变差函数

8.设f为[a,b]上减函数,则f为( )

A、有界函数

B、可测函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

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