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福建师范大学2020年8月课程考试《近世代数》作业考核试题【标准答案】

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《近世代数》期末考试A卷

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一、判断题(共20分,5个小题,每小题4分)

1. 剩余类环 中没有非零的零因子。            (   )

2. 群中指数为2的子群一定是正规子群           (   )

3. 已知 是有限群 的子群,  和 分别表示 和 的元素个数,则   不一定能整除                (   )

4. 数域上的全矩阵环不是单环。                 (   )

5. 环中理想的乘积还是理想。                   (   )

二、计算证明题(共80分,4个小题,每小题20分)

1. 设 是整数集,规定 ,证明: 关于所定义的

运算构成交换群

2.  在四元对称群 中,设 .

(1) 写出 的轮换分解式(即将 写成一些互不相交的轮换的乘积);

(2) 设集合 , 试写出 中全部元素(用轮换分解式表示);

3.  有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:

这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)

4. 求出剩余类环 的所有理想和所有极大理想。

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