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19秋福师《实变函数》在线作业二【满分答案】

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福师《实变函数》在线作业二-0002

试卷总分:100  得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

 

2.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

 

3.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

 

4.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

 

5.闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.

 

6.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

 

7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

 

8.若|f|和f^2都是有界变差,则f为有界变差.

 

9.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

 

10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

 

11.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

 

12.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

 

13.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

 

14.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

 

15.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

 

16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

 

17.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。

 

18.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。

 

19.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

 

20.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.

 

21.设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

 

22.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

 

23.g的连续点是L点,但L点未必是连续点.

 

24.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

 

25.可数集的测度必为零,反之也成立.

 

26.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.

 

27.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.

 

28.f&isin;BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

 

29.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞

 

30.f可积的充要条件是f+和f-都可积.

 

31.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

 

32.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

 

33.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

 

34.零测度集的任何子集都是可测集.

 

35.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.

 

36.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

 

37.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

 

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.fn->f,a.e.,则

A.fn几乎一致收敛于f

B.fn依测度收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

 

39.fn&isin;L(E),则fn->0,a.e.是&int;Efndx->0( )

A.非充分非必要条件

B.必要条件

C.充要条件

D.充分条件

 

40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A.连续函数

B.绝对连续函数

C.有界变差函数

D.单调函数

 

41.若A为R^n中一疏集,则( )

A.A为开集

B.A为孤立点集

C.A不完备

D.Ac为稠集

 

42.有限个可数集的乘积集是( )

A.有限集

B.有连续统势的集

C.基数为2^c的集

D.可数集

 

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.若f&isin;BV[a,b],则( )

A.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

B.f至多有可数个第一类间断点

C.f为有界函数

D.Vax(f)为增函数

 

44.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A.连续函数

B.有界函数

C.是L可测函数

D.不是L可测函数

 

45.若f&isin;AC[a,b],则( )

A.f(x)=f(a)+&int;ax  f ‘(t)dt

B.f&isin;Lip[a,b]

C.f&isin;C[a,b]

D.f&isin;BV[a,b]

 

46.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A.f在R上处处不连续

B.f在R上为可测函数

C.f几乎处处连续

D.f不是可测函数

 

47.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )

A.|g|可测

B.g^2可测

C.fg不可测

D.f+g不可测

 

48.设f为[a,b]上增函数,则f为( )

A.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

B.几乎处处可微

C.f’可积

D.L可积

 

49.若f,g是有界变差函数,则( )

A.max(f,g)有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.f+g有界变差函数

 

50.设f为[a,b]上减函数,则f为( )

A.绝对连续函数

B.有界变差函数

C.有界函数

D.可测函数

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