南开21秋《高等数学（二）》在线作业答卷4 【标准答案】

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高等数学（二）

第 8 章

多元函数微分学

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8．5 隐函数的微分法

本节的知识点：

一元隐函数的存在定理

二元隐函数的存在定理

4.1节

《导学》

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一个方程所断定的隐函数 及其导数

1) 方程在什么前提下才干断定隐函数 .

比方, 方程

C 0 时, 不克不及断定隐函数

2) 方程能断定隐函数时,

研究其可微性及求导方法成绩.

本节探究:

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一元隐函数求导数

定理. 设函数

则方程

单值持续函数 y = f (x) ,

并有持续

(隐函数求导公式)

定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

① 存在持续的偏导数;

的某邻域内可独一断定一个

在点

的某一邻域内满意

②

③

满意前提

导数

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两边对 x 求导

在

的某邻域内

则

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例1. 验证方程

在点(0,0)某邻域

可断定一个单值可导隐函数

解: 令

持续 ;

由 定理1 可知,

①

导的隐函数

则

②

③

在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可

且

并求

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幻灯片 9:

两边对 x 求导

两边再对 x 求导

令 x = 0 , 留神此时

导数的另一求法

— 利用隐函数（复合函数）直接求导

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结论 .

若函数

的某邻域内存在持续偏导数 ;

则方程

在点

并有持续偏导数

定一个单值持续函数 z = f (x , y) ,

仅就求导公式推导如下:

满意

① 在点

满意:

②

③

某一邻域内可独一确

二元隐函数求偏导的公式

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两边对 x 求偏导

同样可得

则

幻灯片 12:

例2. 设

解法1 利用隐函数直接求导

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解法2 利用隐函数求导公式

设

则

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例3.

设F( x , y)存在持续偏导数,

解法1 利用偏导数公式.

断定的隐函数,

则

已知方程

故

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对方程两边求微分:

解法2 微分法.

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练习与功课题 5

习题 8-5

1 .

2.

3.

4. 5.

高等数学（上册）李君湘 邱忠文 天津大学出版社（第1版）

8.5节 结束

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第 8.6 节

方导游数与梯度

（省略）

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