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天大2020年春学期考试《数值计算方法》离线作业考核试题【标准答案】

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数值计算方法

要求:

一、 独立完成,下面已将五组题目列出,请任选其中一组题目作答,

每人只答一组题目,多答无效,满分100分;

二、答题步骤:

1. 使用A4纸打印学院指定答题纸(答题纸请详见附件);

2. 在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答;答题纸上全部信息要求手写,包括学号、姓名等基本信息和答题内容,请写明题型、题号;

三、提交方式:请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个Word

文档中上传(只粘贴部分内容的图片不给分),图片请保持正向、清晰;

1. 完成的作业应另存为保存类型是“Word97-2003”提交;

2. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.doc”;

3. 文件容量大小:不得超过20MB。

提示:未按要求作答题目的作业及雷同作业,成绩以0分记!

 

题目如下:

第一组:

一、 计算题(共56分)

1、 (28分)

设有线性方程组 ,其中

(1)求 分解;

(2)求方程组的解

(3)判断矩阵 的正定性

 

2、(28分)

用列主元素消元法求解方程组

二、 论述题(共44分)

 

1、 (28分)

已知方程组 ,其中

(1)写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;

(2)判断(1)中两种方法的收敛性,如果均收敛,说明哪一种方法收敛更快。

 

2、(16分)

使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术?

 

 

 

 

 

 

第二组:

一、 综合题(共82分)

1、 (28分)

已知下列函数表:

 

0 1 2 3

 

1 3 9 27

(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式;

(2)作均差表,写出相应的三次Newton插值多项式,并计算 的近似值。

2、(24分)

求方程组 的最小二乘解

3、(30分)

已知线性方程组

(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;

(2)对于初始值 ,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算 (保留小数点后五位数字)

二、简述题(共18分)

1. 数值求积公式 是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?

 

 

 

 

 

第三组:

一、计算题(共76分)

1、(22分)用高斯消元法求解下列方程组

 

2、(31分)

用雅可比方法求矩阵 的特征值和特征向量

3、(23分)

求过点(-1,-2),(1,0)(3,-6),(4,3)的三次插值多项式

 

二、简述题(24分)

写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分

 

 

 

 

 

 

第四组:

一、计算题(共48分)

1、(24分)

取5个等距节点,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 的近似值(保留4位小数)。

2、(24分)

设 ,求

二、 论述题(共52分)

1、(30分)

已知方程组 ,其中

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;

(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

2、(22分)

数值积分公式 ,是否为插值型求积公式,为什么?又该公式的代数精度是多少?

 

 

 

 

 

第五组:

计算题

1. 写出求解线性代数方程组

 

的Gauss-Seidel迭代格式,并分析此格式的敛散性。(28分)

2.

(1)写出以0,1,2为插值节点的二次Lagrange插值多项式 ;

(2)以0,1,2为求积节点,建立求积分 的一个插值型求积公式,并推导此求积公式的截断误差。(41分)

3.  利用Gauss变换阵,求矩阵 的LU分解。(要求写出分解过程)

(31分)

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